수학의 4차원증명

 

 

 

 

< 수학으로 증명하는 4차원의 모습 >

 

4차원 세계는 우리가 실제로 가 보질 않았기 때문에 무슨 일이 벌어질지 모른다. 우리의 경험이 3차원 공간에 갇혀 있기 때문이다. 그런데 아무리 고차원이라고 해도 수학의 확실성과 엄밀성, 자연스러운 확장을 통해 우리는 고차원의 일부를 보고 느낄 수 있다.

 

 

4차원 세계는 만화나 영화의 끊임없는 소재이다. 니나를 구해내기 위해 어른들이 모르는 4차원 세계로 달려가는 ‘이상한 나라의 폴’, 여섯 명의 난쟁이들과 케빈의 시간 여행을 그린 영화 ‘시간 도둑들’, 영화와 TV시리즈로 제작되어 끊임없이 방송되는 ‘스타게이트’, 시간 여행과 비행기 사고를 다룬 ‘4차원 도시’ 등 4차원 세계를 소재로 한 만화나 영화는 참 많고 꾸준히 제작된다.

 

그런데, 이런 만화나 영화에서 나타난 4차원 세계는 우리가 살고 있는 3차원 세계와 별로 다르지 않다. 그 이상한 나라에서는 마법을 쓸 수 있다던 지, 조금 이상한 사람들이나 생물들이 살고 있다던 지 할 뿐 겉 모습은 우리의 세계와 크게 다르지 않다. 이상한 나라는 수학적으로 볼 때는 4차원으로 되어 있는 것 같지는 않다. 어떤 영화에서는 그런 문제를 해결하기 위해서 단지 우리가 사는 3차원 세계와 다른 세계로 이동할 때만 잠시 4차원 세계를 거치는 것으로 표현하기도 하는 것 같다. 즉, 진짜 4차원 세계의 모습을 보여주는 만화나 영화는 없었던 것이다.

 

 

그러면 4차원 세계의 모형적 모델은 어떤 모습일까?  사실 4차원 세계를 상상하는 것은 쉽지 않다. 우리가 사는 공간은 3차원으로 되어있고, 시간을 합치면 우리가 사는 세계 자체가 4차원이라고 볼 수도 있다. 하지만, 지금 말하는 4차원 세계는 4차원 공간을 가진 세계를 말한다. 4차원 공간은 어떻게 생겼을까? 수학자들에게는 우리가 눈으로 볼 수 없는 것이나 불가능할 것이라고 생각하는 것들을 실현시키는 능력이 있다. 그런 것들 중에 하나가 차원의 확장이다. 이것을 이해하기 위해서 먼저 차원이 무엇인지 간단히 알아보자.

 

 

어떤 공간의 차원은 그 공간의 성분들 중에서 서로에게 영향을 미치지 않고 독립적으로 움직일 수 있는 성분들을 최대한 모아 놓았을 때, 그런 성분의 개수가 몇 개인지를 말하는 것이다. 우리가 사는 3차원 공간은 앞뒤, 좌우, 위아래의 3가지 방향으로 자유롭게 움직일 수 있다. 그래서 3차원이다. 2차원 공간은 평면 위의 공간이다. 평면 위의 점을 생각해보면 점은 앞뒤, 좌우의 2가지 방향으로 움직일 수 있다. 따라서 평면은 2차원이다. 1차원 공간은 수직선 하나로 이루어진 공간이다. 수직선 위에 있는 점이 움직인다고 생각할 때, 이 점은 수직선을 따라 좌우로만 움직일 수 있다. 그래서 1차원인 것이다. 1차원 공간은 간단하게 수직선 하나로만 표시할 수 있지만, 2차원 이상의 공간을 표시하려면 위치를 정하는 다른 방법이 필요하다. 그것이 바로 데카르트 좌표계 혹은 직교좌표계라는 것이다. 2차원 공간은 2개의 서로 직각으로 교차하는 직선으로, 3차원 공간은 3개의 서로 직각으로 교차하는 직선으로 표시한다.

 

1차원 좌표계

2차원 좌표계

3차원 좌표계

 

그러면 4차원은 수직선 4개가 서로 직교하는 공간이며, 5차원은 수직선 5개가 서로 직교하는 공간이라는 것을 알 수 있다. 하지만 이런 공간들은 우리가 평면 위에 그릴 수 없고 단지 머릿속으로 상상만 할 수 있을 뿐이다.

 

 

이제 각 차원의 공간에 있는 특별한 원의 반지름을 구하여보자. 생각하기 쉽도록 낮은 차원에서 높은 차원의 순서로 살펴보기로 하자. 우선 평면에서 생각해 보자. 2차원 평면에서 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원 4개를 접하게 하고, 다섯 번째 원을 네 개의 원에 동시에 접하도록 가운데에 그리자. 그럴 때 이 작은 원의 반지름은 얼마일까?

 

 

 

이번에는 3차원 공간에서 생각해 보자. 3차원 공간의 경우는 모두 8개의 공간으로 나누어지므로 오른쪽 그림과 같이 반지름이 1인 8개의 구를 접하게 놓을 수 있고, 그 가운데 작은 구를 생각할 수 있다. 이 작은 9번째 구의 반지름을 구해 보자. 반지름이 1인 8개의 구의 중심은 각각 (1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,1), (-1,1,1), (-1,-1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,1), (-1,-1,-1)이므로, 평면에서와 마찬가지로 피타고라스의 정리를 이용하면 약 0.732임을 알 수 있다.

 

 

이제 4개의 수직선이 서로 직교하고 있는 4차원 공간에서도 그림으로 그려서 나타낼 수는 없지만 이와 같은 생각을 할 수 있다. 아마도 4차원 공간에서는 16개의 4차원 구가 서로 접해 있고, 그 가운데에 17번째 작은 4차원 구가 위치해 있을 것이다. 이 작은 4차원 구의 반지름은 앞에서와 마찬가지로 피타고라스의 정리를 이용하면 계산할 수 있다. 그 값은 1이 된다!

 

 

이상한 일이 벌어졌다. 서로 딱 붙어 있는 4차원 구의 반지름은 1인데 그 사이에 똑 같은 크기의 4차원 구가 들어간 것이다. 그 모습이 상상이 되시는지? 그 모습을 상상할 수 있다면 4차원 세계를 보는 셈이다. 4차원 보다 더 높은 차원의 경우에는 심지어 서로 딱 붙어있는 구의 사이에 있는 구가 더 커진다. 만일 9차원이라면 반지름 1인 구의 사이에 있는 구의 반지름이 2가 되고 100차원이라면 9가 된다.

 

 

 

 

고차원은 우리가 상상만 할 수 있을 뿐 실제로 가 보질 않았기 때문에 무슨 일이 벌어질지 모른다. 즉, 우리의 생각이 3차원 공간에 있기 때문에 그 보다 높은 차원에서는 어떤 일이 벌어지고 있는지 확인할 수 없다. 그런데 아무리 고차원이라고 해도 수학의 확실성과 엄밀성 그리고 자연스러운 확장에 의하여 우리는 고차원의 일부를 보고 느낄 수 있는 것이다. 그리고 이런 일이 가능한 것은 오직 수학뿐이다. 그런데 진짜 그런 일이 벌어질까? 고차원 공간에 가보지 않았으면 말을 말아야지!

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